Matematika Diskrit
Judul Pokok Bahasan
|
:
|
3. Logika Matematika
3.1. Kuantor Universal dan
Kuantor Eksistensial
3.2. Argumen
|
Tujuan Pembelajaran
|
:
|
a)
Mengerti apa yang dimaksud dengan fungsi proposisi.
b)
Mengerti apa yang dimaksud dengan kuantor universal dan
mengetahui definisi untuk menetapkan nilai kebenaran untuk pernyataan kuantor
universal.
c)
Mengerti apa yang dimaksud dengan kuantor eksistensial
dan mengetahui definisi untuk menetapkan nilai kebenaran untuk pernyataan
kuantor eksistensial.
d)
Dapat mengubah pernyataan kuantor universal ke dalam
pernyataan kuantor eksistensial dan sebaliknya.
e)
Dapat menuliskan negasi dari pernyataan kuantor
universal dan kuantor eksistensial.
f)
Mengerti perbedaan antara argumen valid dan invalid.
|
3. Logika Matematika
Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan D
adalah sebuah himpunan (sembarang kumpulan obyek). Kita menyebut P sebuah fungsi
proposisi (dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah proposisi.
Misalkan P(n) adalah
pernyataan
:
adalah bilangan ganjil
dan D adalah himpunan bilangan bulat positif. Maka P adalah fungsi
proposisi dengan daerah asal pembicaraan D karena untuk setiap n di D, P(n)
adalah proposisi (yakni, untuk setiap n di D, P(n) bisa bernilai benar atau
salah tetapi tidak keduanya). Sebagai contoh, jika n = 1, kita peroleh
proposisi
1 adalah bilangan ganjil
bernilai benar. Jika n = 2, kita peroleh proposisi
2 adalah bilangan ganjil
bernilai salah.
3.1
Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial
Definisi 3.1 : Kuantor Universal
Misalkan P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal D. Pernyataan
 ntuk
setiap x, P(x)
dikatakan pernyataan kuantor universal. Pernyataan itu dapat dinyatakan
dengan simbol sebagai
di mana simbol
 berarti “untuk setiap”. Simbol disebut kuantor
universal. |
Pernyataan adalah benar jika P(x)
benar untuk setiap x di D. Dan pernyataan adalah salah jika P(x)
salah untuk sedikitnya satu x di D. Sebuah nilai x di D yang membuat P(x) salah
disebut contoh penentang (counter exemple) bagi pernyataan .
adalah benar jika P(x)
benar untuk setiap x di D. Dan pernyataan adalah salah jika P(x)
salah untuk sedikitnya satu x di D. Sebuah nilai x di D yang membuat P(x) salah
disebut contoh penentang (counter exemple) bagi pernyataan .
Catatan :
Cara lain untuk
menuliskan untuk setiap x, P(x) adalah untuk semua x, P(x) dan untuk
sembarang x, P(x).
Contoh 3.1 :
Tulislah setiap pernyataan yang diberikan dengan simbol.
a. Untuk setiap x, 
b. Untuk semua x, jika x>1 maka x2>1
Penyelesaian :
a. 
b. 
Contoh 3.2 :
Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan yang diberikan. Daerah asal pembicaraannya adalah
himpunan bilangan real.
a. Untuk setiap x,
b. Untuk semua x, x2-1>0
Penyelesaian :
a. Pernyataan tersebut benar karena untuk
setiap bilangan real x, adalah benar bahwa kuadrat x bernilai positif atau
benar.
b. Pernyataan tersebut salah karena jika x =
1 maka proposisi 12-1 >0 salah.
Definisi 3.2 : Kuantor Eksistensial
Misalkan P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal D. Pernyataan
ntuk
beberapa x, P(x)
dikatakan pernyataan kuantor eksistensial. Pernyataan itu dapat
dinyatakan dengan simbol sebagai
di mana simbol
 berarti “untuk beberapa”. Simbol disebut kuantor
eksistensial. |
Pernyataan adalah benar jika P(x)
benar untuk sedikitnya satu x di D. Dan pernyataan adalah salah jika P(x)
salah untuk setiap x di D.
adalah benar jika P(x)
benar untuk sedikitnya satu x di D. Dan pernyataan adalah salah jika P(x)
salah untuk setiap x di D.
Catatan :
Cara lain untuk menuliskan untuk beberapa x, P(x) adalah untuk
paling sedikit satu x, P(x) dan terdapat x yang sedemikian, sehingga P(x).
Contoh 3.3 :
Tulislah setiap pernyataan yang diberikan dengan simbol.
a. Untuk beberapa x, .
.
b. Untuk paling sedikit satu x, jika
x>1 maka x2>1.
c. Untuk setiap x, untuk beberapa y, x2<y+1.
Penyelesaian :
a. 
b. 
c. 
Contoh 3.4 :
Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan yang diberikan. Daerah asal
pembicaraannya adalah himpunan bilangan real.
a. Untuk beberapa x, x+1
> 0
b. Untuk paling sedikit satu x, x2<0
Penyelesaian :
a. Pernyataan tersebut benar karena jika x =
2 maka proposisi 2+1 >0 benar.
b. Pernyataan tersebut salah karena untuk
setiap bilangan real x, adalah salah bahwa kuadrat x bernilai negatif.
Teorema 3.1 : Memperumum Hukum De Morgan untuk
Logika
Jika P sebuah fungsi proposisi, setiap pasangan pada a) dan b) berikut
mempunyai nilai kebenaran yang sama.
a)
b)
 |
Contoh 3.5 :
Tuliskan negasi dari masing-masing proposisi
yang diberikan.
a. Untuk setiap x, x2>x
b. Untuk beberapa x, x2>x
Penyelesaian :
a. Untuk beberapa x, tidak benar bahwa
x2>x.
b. Untuk setiap x, tidak benar bahwa x2>x.
Latihan Soal
3.1
|
Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan yang diberikan. Daerah asal pembicaraannya adalah
himpunan bilangan real.
a. Untuk setiap y, y2>1
b. Untuk beberapa x, x2>4
c. Untuk setiap x, untuk setiap y, x2<y+1
d. Untuk beberapa x, untuk beberapa y, x2<y+1
e. Untuk setiap x, untuk setiap y, x2+y2
= 4
f. Untuk beberapa x, untuk beberapa y, x2+y2
= 4
|
3.2
|
Tulislah negasi dari masing-masing proposisi
pada Soal 3.1.
|
3.3
|
Misalkan P(x) adalah fungsi proposisi “x adalah bilangan rasional” dan
misalkan Q(x) adalah fungsi proposisi “x adalah bilangan positif”. Daerah
asal pembicaraan adalah himpunan bilangan real. Nyatakan pernyataan
dengan kata-kata.
|
3.2 Argumen
Sebuah argumen adalah suatu deret proposisi yang dituliskan sebagai
Proposisi p1,
p2, p3, …, pn disebut hipotesis (atau
premis) dan proposisi q disebut konklusi. Argumen di atas dikatakan
valid jika konklusi mengikuti hipotesis, yakni, jika p1, p2,
p3, …., dan pn adalah benar, maka p juga pasti benar.
Kebalikannya kita sebut argumen invalid. Suatu argumen adalah valid karena
bentuknya bukan karena isinya.
Contoh 3.6 :
Tentukanlah apakah argumen
valid.
Penyelesaian :
Kita bentuk tabel kebenaran untuk semua proposisi yang terlibat.
|
|||||||||||||||||||||||||
Tabel 3.1
|
Kita mengamati apabila hipotesis dan p adalah benar, maka konklusi q juga
benar, sehingga argumen tersebut valid.
dan p adalah benar, maka konklusi q juga
benar, sehingga argumen tersebut valid.
Contoh 3.7 :
Nyatakan apakah argumen
Jika 2 = 3, maka saya lulus matematika diskrit
Saya lulus matematika diskrtit
valid.
Penyelesaian :
Jika kita misalkan p : 2 = 3 dan q : saya lulus
matematika diskrtit maka argument tersebut bias dituliskan sebagai
Karena p salah maka
andaikan dan q benar tidak
mungkin p benar. Jadi argumen tersebut tidak valid.
dan q benar tidak
mungkin p benar. Jadi argumen tersebut tidak valid.
Latihan Soal
3.4
|
Misalkan
Rumuskan argument yang diberikan dengan simbol dan nyatakan apakah
masing-masing argumen tersebut valid.
|
|||||||||||||
3.5
|
Nyatakan apakah setiap argumen yang diberikan
adalah valid
|
Daftar Pustaka
R. Johnsonbaugh, Matematika Diskrit Jilid 1, Prenhallindo, 1998.
0 komentar:
Post a Comment